Keppler publica leis sobre o movimento planetário - História

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Em 1609, Johannes Kepler publicou suas duas primeiras leis do movimento planetário. Suas leis explicam o movimento dos planetas ao redor do sol.

Isenção de responsabilidade: o seguinte material está sendo mantido online para fins de arquivamento.

Uma visão geral para professores de ciências


    Abaixo está uma palestra proferida em 23 de março de 2005 para professores de ciências do Condado de Anne Arundel, Maryland. Ele contém uma visão geral das leis de Kepler com exemplos, aplicações, problemas e história relacionada, um recurso para materiais de sala de aula
    Ele é codificado e vinculado às seções apropriadas de "From Stargazers to Starships". Os professores também receberam disquetes com o material da web, permitindo o acesso off-line.


Grande parte desta visão geral é extraída de "From Stargazers to Starships", um curso detalhado sobre astronomia, mecânica newtoniana, física do Sol e voos espaciais. Sua página inicial é http://www.phy6.org/stargaze/Sintro.htm e também inclui traduções (espanhol, italiano e francês), um glossário, uma linha do tempo, problemas, planos de aula, mais de 500 respostas a perguntas de usuários e mais. Ele usa álgebra e trigonometria (no qual um minicurso está incluído), enfatiza a compreensão conceitual, história, aplicações e vínculos com a cultura e a sociedade, e suas seções cobrem uma ampla gama de níveis, do ensino médio ao primeiro ano da faculdade.

Um guia rápido para as seções de "Observadores das estrelas" relacionadas às leis de Kepler pode ser encontrado na seção "Leis de Kepler". A seguir, essas seções às vezes serão referidas por seus números. Você também pode obter a lista completa de links em "Mapa do site" no topo desta página ou em "Voltar para a página inicial" no final.

    Observe que os endereços aqui são abreviados, porque você já está conectado ao "Stargazers".
    Portanto, a página inicial é Sintro.htm
    não http://www.phy6.org/stargaze/Sintro.htm

"Stargazers" contém mais material do que pode ser abordado em uma aula regular. Ainda assim, os professores precisam de um conhecimento mais amplo, permitindo-lhes escolher e escolher o material de acordo com as circunstâncias e mencionar curiosidades sem discussão detalhada, apenas para criar interesse.

E alguns professores muito sortudos podem às vezes encontrar na classe uma ou duas crianças que realmente querem saber mais. Esses alunos podem ser direcionados aqui para satisfazer seus interesses.

Esta visão geral se concentra em três itens:
--- quais são as leis de Kepler, o que significam e por que são importantes.


  1. Os planetas se movem ao redor do Sol em elipses, com o Sol em um foco
  2. A linha que conecta o Sol a um planeta varre áreas iguais em tempos iguais.
  3. O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo (3ª potência) da distância média do Sol
    (também indicado como--. do "semi-eixo maior" da elipse orbital, metade da soma das distâncias menores e maiores do Sol)

O significado das leis de Kepler

As leis de Kepler descrevem o movimento dos planetas ao redor do sol.
Kepler conhecia 6 planetas: Terra, Vênus, Mercúrio, Marte, Júpiter e Saturno.

A órbita da Terra em torno do Sol.
Esta é uma visão em perspectiva, a forma de
a órbita real está muito perto de um círculo.

Todos estes (também a Lua) se movem quase no mesmo plano plano (seção # 2 em "Stargazers"). O sistema solar é plano como uma panqueca! A Terra também está na panqueca, então vemos todo o sistema de ponta cabeça - a panqueca inteira ocupa uma linha (ou talvez uma faixa estreita) cortando o céu, conhecida como eclíptica. Cada planeta, a Lua e o Sol também, movem-se ao longo ou perto da eclíptica. Se você vir um monte de estrelas brilhantes dispostas em uma linha no céu - com a linha talvez incluindo também a Lua, (cuja órbita também está perto daquela "panqueca"), ou o lugar no horizonte onde o Sol tinha apenas configure - você provavelmente está vendo planetas.

    Astrônomos antigos acreditavam que a Terra era o centro do Universo - as estrelas estavam em uma esfera girando em torno dela (agora sabemos que é na verdade a Terra que está girando) e os planetas estavam se movendo em suas próprias "esferas de cristal" com velocidade variável. Eles geralmente se moviam na mesma direção, mas às vezes seu movimento era revertido por um mês ou dois, e ninguém sabia por quê.

Um clérigo polonês chamado Nicolau Copérnico descobriu em 1543 que esses movimentos faziam sentido se os planetas se movessem ao redor do Sol, se a Terra fosse um deles e se os mais distantes se movessem mais lentamente. A Terra então às vezes ultrapassa os planetas mais lentos e mais distantes do Sol, fazendo com que suas posições entre as estrelas se movam para trás (por um tempo). As órbitas de Vênus e Mercúrio estão dentro da Terra, portanto, nunca são vistas longe do Sol (por exemplo, à meia-noite).

Espero que a descrição dessas características - a "panqueca" da eclíptica, o movimento invertido ("retrógrado"), Vênus sempre perto do Sol - ajude os alunos a ter uma ideia do aparecimento de planetas no céu, como estrelas brilhantes movendo-se ao longo da mesma trilha que o Sol e a Lua. As 12 constelações ao longo dessa linha são conhecidas como zodíaco, um nome que deve ser familiar para aqueles que seguem a astrologia. Vênus, o planeta mais brilhante, parece saltar para frente e para trás na posição do Sol, assim como Mercúrio - mas como está muito mais perto do Sol, você só pode vê-lo quando está mais distante do Sol, e então, logo após o pôr do sol ou antes do nascer do sol.

Os alunos provavelmente terão ouvido ou lido que o papa e a igreja lutaram contra a ideia de Copérnico, porque em um dos salmos (que são na verdade poemas-oração) a bíblia diz que Deus "criou a Terra para que ela não se movesse" [que foi uma tradução: uma mais correta pode ser "não entrará em colapso"]. Galileu, um contemporâneo italiano de Kepler que apoiou as idéias de Copérnico, foi julgado pela igreja por desobediência e foi condenado à prisão domiciliar pelo resto de sua vida.

Foi uma época em que as pessoas costumavam seguir autores antigos (como o grego Aristóteles), em vez de verificar com seus próprios olhos o que a Natureza estava realmente fazendo. Quando as pessoas começaram a verificar, observar, experimentar e calcular, isso trouxe a era da revolução científica e da tecnologia. Nossa tecnologia moderna é o resultado final, e as leis de Kepler (junto com a obra de Galileu e a de William Gilbert sobre o magnetismo) são importantes, porque deram início a essa revolução.

Johannes
Kepler

Kepler trabalhou com Tycho Brahe, um nobre dinamarquês que levou a astronomia pré-telescópica à sua maior precisão, medindo as posições dos planetas com a maior precisão que os olhos podiam distinguir (Brahe morreu em 1602 em Praga, agora os telescópios da capital tcheca começaram com Galileu por volta de 1609 ) Se você quiser ler sobre isso, eu recomendo "Tycho and Kepler" de Kitty Ferguson, revisado em http://www.phy6.org/outreach/books/Tycho.htm ou pelo menos leia a revisão. Deixe-me citar:

    A intolerância religiosa era generalizada - na verdade, os eventos estavam se movendo em direção à guerra dos 30 anos (1618-48), a batalha religiosa mais destrutiva da Europa, espelhada pela guerra civil na Grã-Bretanha. Kepler foi forçado a deixar Graz, entre todos os outros funcionários de faculdades protestantes da cidade, depois que o arquiduque governante decretou que eles deveriam deixar a cidade ao anoitecer, naquele mesmo dia. Foi também uma época em que a mãe de Kepler foi presa por bruxaria, quando a maioria de seus numerosos filhos morreram na infância e quando o casamento de Tycho foi considerado uma união "slegfred" de segunda categoria porque sua esposa escolhida não era da nobreza.

Tente transmitir isso aos alunos também. 1620 foi quando os "Pilgrims" desembarcaram em Plymouth Rock, fugindo da eclosão da guerra religiosa que mais tarde devastou a Europa. Muito possivelmente, foi a memória dessas guerras que levou os Estados Unidos, muito mais tarde, a decretar a separação entre Igreja e Estado. Explique como o desenvolvimento da ciência e da sociedade costumam estar intimamente relacionados.

Primeira Lei de Kepler

Primeiro explique o que é uma elipse: uma das "seções cônicas", formas obtidas pelo corte de um cone com uma superfície plana. Uma lanterna cria um cone de luz: mire em uma parede plana e você terá uma seção cônica.

    Bata na parede perpendicular. A parede corta o cone perpendicularmente ao seu eixo e você obtém um círculo de luz.

Incline o cone em relação à parede: uma elipse. Quanto mais você inclina, mais longe a elipse se fecha.

As curvas geradas como
& quotseções cônicas & quot quando planas
aviões são cortados em um cone.

Finalmente, se o eixo do cone é paralelo à parede, a curva nunca fecha: você obtém uma parábola. As leis de Kepler (como as conhecemos agora) permitem todas as seções cônicas, e as parábolas estão muito próximas das órbitas dos cometas não periódicos, que começam muito distantes.

Há muito, muito mais. mas deixe-me mencionar dois pontos. São bons pontos para levantar em aula, pois reúnem a obra de Kepler de cerca de 1610 com as últimas descobertas científicas do século XXI.

Em primeiro lugar, uma elipse muito famosa é mostrada abaixo. Sua história é contada na seção # S7-a http://www.phy6.org/stargaze/Sblkhole.htm

Todos vocês provavelmente sabem que nosso Sol faz parte de uma enorme coleção de estrelas em forma de disco - cerca de 100 bilhões na última contagem - chamada galáxia. É um disco plano, uma panqueca como o sistema solar - e aqui também, olhamos para a panqueca de lado, então ela também corta a visão em uma faixa estreita. Nessa faixa, vemos um cinturão de estrelas fracas percorrendo todo o globo do céu, a "Via Láctea".

O que mantém nossa galáxia (e outras mais distantes) unidas? Por muito tempo, acreditou-se que havia um enorme buraco negro no meio, mas esse meio estava obscurecido por nuvens de poeira e, portanto, não era fácil de observar. Recentemente, foram construídos telescópios de alta resolução sensíveis à luz infravermelha, que podem ver através da poeira, e mostraram uma grande concentração de estrelas em movimento rápido perto do centro da galáxia, em órbitas que obedecem às leis de Kepler. O site mostra a elipse de uma estrela orbitando o centro uma vez em 15,2 anos, e os cálculos deduzem uma massa de cerca de 3,7 milhões de sóis, mais ou menos 1,5 milhões.

    [Apenas para astrônomos: a massa central ajuda a manter a galáxia unida, mas há muito mais massa envolvida, então a rotação das partes mais extensas das galáxias não obedece à 3ª lei de Kepler. Na verdade, suas partes principais parecem girar como discos sólidos, o que é difícil de explicar a menos que assumamos que as galáxias contenham, além de estrelas brilhantes, uma grande quantidade de "matéria escura" que afeta a gravidade, mas é invisível. Veja a nota e o final de # 20]

Em segundo lugar, dissemos que a Terra orbita o Sol (e, a propósito, as mesmas leis também se aplicam aos satélites artificiais que orbitam a Terra). Mas imagine que você pudesse tornar a Terra cada vez mais pesada e o Sol, ao mesmo tempo, cada vez mais leve. O que então? No ponto onde a Terra e o Sol são igualmente pesados ​​- qual orbita qual?

    --- Primeiro ele planejou as leis básicas do movimento - conhecidas desde então como "as 3 leis do movimento de Newton", e você provavelmente as ensina também.

--- Em segundo lugar, ele nos deu a lei da gravitação universal - mostrou que a mesma força que causou a queda de maçãs e pedras, também manteve a Lua em sua órbita - e, portanto, provavelmente, criou todas as órbitas do sistema solar .

Por que isso é importante? Porque nos ajuda a descobrir se outras estrelas têm planetas! Não podemos ver esses planetas - muito turvos - mas se a estrela balança para frente e para trás de uma forma complicada, pode ser porque um planeta faz com que ela se mova dessa forma.

Funciona? Sim e não (fim de # 11a). Muitos planetas foram descobertos desta forma, mas a maioria deles está muito perto da estrela (balança em uma escala de tempo de semanas) e são muito grandes. Descobrir planetas semelhantes à Terra é mais difícil - o movimento é menor e precisamos observar por muitos anos para extrair uma periodicidade da ordem de um ano. Mas fique ligado, os astrônomos estão trabalhando nisso.
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2ª lei de Kepler

(Essa linha às vezes é chamada de "vetor de raio").

Ilustrando a 2ª lei de Kepler:
segmentos AB e CD tomam
tempos iguais para cobrir.

Uma elipse é oval alongada simétrica, com dois focos localizados simetricamente em direção às extremidades "mais nítidas" - um foco contém o Sol, o outro está vazio. (Desenhe essa elipse.) Se aproximarmos cada vez mais os focos, a elipse parece cada vez mais com um círculo e, quando eles se sobrepõem, temos um círculo.

    [A órbita da Terra e a maioria das órbitas planetárias estão muito próximas de círculos. Se você visse a órbita da Terra sem o Sol no foco, provavelmente não seria capaz de distingui-lo de um círculo. Com o Sol incluído, no entanto, você pode notar que ele estava um pouco fora do centro.]
    (A estrela S2 acelera até 2% da velocidade da luz ao se aproximar do buraco negro no centro de nossa galáxia!)

O que acontece é melhor entendido em termos de energia. À medida que o planeta se afasta do Sol (ou o satélite da Terra), ele perde energia ao superar a atração da gravidade e diminui a velocidade, como uma pedra atirada para cima. E como a pedra, ela recupera sua energia (completamente - sem resistência do ar no espaço) conforme volta.

Há um exercício fácil aqui, que também está na seção # 12A http://www.phy6.org/stargaze/Skepl2A.htm

Suponha que você tenha um planeta cuja menor / maior distância do centro seja (r 1, r 2) - eles são chamados de periélio e afélio [ap-hélio]) se o centro for o Sol, ou (perigeu, apogeu) se o o centro é a Terra. (As distâncias são sempre medidas a partir do centro dos corpos, ou dos centros de gravidade)

Digamos que seja um planeta orbitando o sol. Então
- a velocidade V 1 no periélio é a mais rápida para a órbita. É, portanto, a distância percorrida em um segundo no periélio.
- a velocidade V 2 no afélio é a mais lenta para a órbita. É, portanto, a distância percorrida em um segundo no afélio.

A área varrida pelo "vetor raio" r durante um segundo após o periélio é um triângulo retângulo de base V 1, então sua área é 0,5 r 1 V 1

A área varrida pelo "vetor raio" r durante um segundo após o afélio é um triângulo retângulo de base V 2, então sua área é 0,5 r 2 V 2

Pela lei das áreas, ambas as áreas são iguais, então r 1 V 1 = r 2 V 2
Divida ambos os lados por r 1 V 2
e obtenha V 1: V 2 = r 2: r 1

Se o afélio r 2 é 3 vezes a distância do periélio, a velocidade V 2 aí é 3 vezes mais lenta. (Observação: esta relação só funciona nesses dois pontos da órbita. Em outro ponto, a velocidade e o raio não são perpendiculares.)
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Quando estamos mais próximos do Sol? Por volta de 4 de janeiro, cerca de 1,5%, não o suficiente para fazer o Sol parecer diferente.
Esta é uma maneira rápida de demonstrar essa assimetria (embora você possa não ter tempo para abordá-la em sala de aula). Desenhe uma elipse, com o eixo longo e uma linha perpendicular a ele passando pelo Sol)
Acontece (puro acidente) que o equinócio de primavera e o equinócio de outono, quando o dia e a noite são iguais, normalmente 21 de março, 22 ou 23 de setembro, caem muito perto dessa linha perpendicular.

Observe a vista esquemática da órbita da Terra na seção # 3. O eixo longo (conforme definido acima) é a linha que conecta dezembro-junho naquele desenho, e a linha perpendicular é aquela que conecta março-setembro.

Na verdade, ambas as condições se mantêm, se a Terra estiver mais próxima do Sol por volta de 4 de janeiro. A "metade" da elipse (determinada pela linha perpendicular definida acima) que está mais próxima do Sol é menor (demonstre com um desenho de uma elipse que é notavelmente oval), e pela 2ª lei de Kepler, a Terra se move mais rápido quando mais perto do sol.
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O fato de o hemisfério norte estar mais próximo do Sol no meio do inverno e mais distante no meio do verão, modera as estações, tornando-as mais amenas.
No hemisfério sul, eles seriam mais severos, embora os grandes oceanos moderem esse efeito.

Mas o eixo da Terra se move em torno de um cone, em cerca de 26.000 anos. Em 13.000 anos estaremos mais próximos do Sol no meio do verão, e o clima ficará mais severo. Conforme descrito na seção 7, este pode ser um efeito ligado às origens das eras glaciais, mas os detalhes estão além do escopo desta revisão.

3ª Lei de Kepler

    (3) O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional
    ao cubo da distância média do Sol

Esta é uma lei matemática, e seus alunos precisam de calculadoras com raízes quadradas, também 3/2 potências e 2/3 potências (e talvez raízes cúbicas ou 1/3 potências, a mesma coisa).

Se dois planetas (ou dois satélites terrestres - funcionam da mesma forma) têm períodos orbitais T1 e T2 dias ou anos, e distâncias médias do Sol (ou eixos semi-maiores) A1 e A2, então a fórmula que expressa a 3ª lei é

Os alunos perguntarão imediatamente - podemos contar dias para obter o período orbital T (embora possa ser complicado, precisamos subtrair o movimento da Terra em torno do Sol) - mas como sabemos a distância A?

Na verdade, não sabemos, mas observe que apenas as proporções das distâncias são necessárias e as unidades não afetam as proporções. Por exemplo, suponha que "Planeta 2" seja a Terra, e todos os tempos estão em anos. Então, T 2 = 1 (ano) e podemos medir todas as distâncias em Unidades Astronômicas (AU), a distância média Sol-Terra, de modo que A 2 = 1 (AU). A lei então se torna, para qualquer outro planeta, (T 1) 2 = (A 1) 3 Isso pode ser verificado, e na seção 10 você encontra os resultados em uma tabela:

Você pode ver que, mesmo com nossa precisão limitada, a lei é válida muito bem. Também mostra que quanto maior a distância, mais lento o movimento, o que leva à ultrapassagem dos planetas externos pela Terra, fazendo-os (por um tempo) parecerem se mover para trás em relação às estrelas fixas no céu. Você pode provar tudo isso matematicamente para órbitas circulares usando as leis de Newton (consulte a seção 21), mas, novamente, vou pular isso.

Em quilômetros, a unidade astronômica é cerca de 150.000.000 km, 400 vezes a distância da lua. Todos os tipos de tentativas foram feitas para derivá-lo, começando com o antigo grego Aristarchus (seção # 9a) e são discutidos na seção # 10a. Foi feito pela primeira vez com alguma precisão em 1672, e a empolgação com o recente "trânsito de Vênus" na frente do Sol foi motivada por uma proposta feita na época por Halley (famoso pelo cometa) de usar esses trânsitos raros para medir a UA . Os mais recentes ocorreram em 2004 e 2012, então mais de um século se passa antes do próximo. Uma versão crua do cálculo, não curta, está nas seções # 12c a # 12e de "Stargazers". (Alguns outros "métodos" podem ser encontrados na web, envolvendo o trânsito de Vênus, mas não sua duração, e eles não são genuínos.)

Todos os tipos de problemas podem ser resolvidos com a 3ª lei de Kepler. Aqui estão alguns:

    Quanto tempo leva para chegar a Marte, na órbita mais eficiente? Isso é chamado de "Órbita de Transferência de Hohmann" (Wolfgang Hohmann, 1925). A espaçonave deve primeiro se livrar da Terra (ela ainda orbita o Sol junto com a Terra, a 30 km / s, a uma distância de 1 UA), então ela adiciona velocidade para que seu afélio (em sua órbita ao redor do Sol) apenas roça a órbita de Marte, A = 1.524 AU (ignorando a elipticidade).
    A órbita de transferência de Hohmann

Para a órbita de Hohmann, a menor distância é 1,00 AU (Terra), a maior 1,524 AU (Marte), então o semieixo maior é A = 0,5 (1,00 + 1,524) = 1,262 AU A 3 = 2,00992 = T 2
O período é a raiz quadrada T = 1,412 anos
Para chegar a Marte leva apenas meia órbita ou T / 2 = 0,7088 anos
Isso equivale a cerca de 8,5 meses. Mais detalhes estão na seção # 21b.

Para alcançar o Sol diretamente da Terra, precisamos atirar na espaçonave para fora da Terra. Ele ainda orbita o Sol com a Terra, a 30 km / s (a órbita baixa da Terra leva apenas 8 km / s), então precisamos dar a ele um impulso oposto, adicionando (-30 km / s) à sua velocidade. Em seguida, ele cai direto no sol.

Essa órbita também é uma elipse, embora muito estreita. Seu comprimento total é 1 (AU), então o semieixo maior é A = 0,5 AU. Pela 3ª lei, A 3 = 0,125 = T 2, e tomando a raiz quadrada, T = 0,35355 anos. Precisamos dividir isso por 2 (é uma viagem só de ida!) E multiplicar por 365,25 para obter os dias. Multiplicando: T / 2 = (0,5) 0,35355 (365,25) = 64,6 dias

Este número está entre 6 3 = 216 e 7 3 = 343, então quando a calculadora der R = 6,614 RE. você sabe que está certo.

Se você é um professor que está tentando cobrir as leis de Kepler, espero que esta rápida visão geral tenha fornecido uma ampla gama de ferramentas e percepções que podem ser úteis em sala de aula.

Agora passe adiante! Você encontrará muito mais nos sites descritos aqui.


Leis de Kepler do movimento planetário

Nossos editores irão revisar o que você enviou e determinar se o artigo deve ser revisado.

Leis de Kepler do movimento planetário, em astronomia e física clássica, leis que descrevem os movimentos dos planetas no sistema solar. Elas foram derivadas do astrônomo alemão Johannes Kepler, cuja análise das observações do astrônomo dinamarquês do século 16 Tycho Brahe permitiu-lhe anunciar suas duas primeiras leis no ano de 1609 e uma terceira lei quase uma década depois, em 1618. O próprio Kepler nunca enumerou essas leis ou as distinguiu especialmente de suas outras descobertas.

O que significa a primeira lei de Kepler?

A primeira lei de Kepler significa que os planetas se movem em torno do Sol em órbitas elípticas. Uma elipse é uma forma que se assemelha a um círculo achatado. O quanto o círculo é achatado é expresso por sua excentricidade. A excentricidade é um número entre 0 e 1. É zero para um círculo perfeito.

O que é excentricidade e como ela é determinada?

A excentricidade de uma elipse mede o quão achatado é um círculo. É igual à raiz quadrada de [1 - b * b / (a ​​* a)]. A letra a representa o semi-eixo maior, ½ distância ao longo do eixo longo da elipse. A letra b representa o eixo semiminor, ½ distância através do eixo curto da elipse. Para um círculo perfeito, aeb são iguais, de modo que a excentricidade é zero. A órbita da Terra tem uma excentricidade de 0,0167, então é quase um círculo perfeito.

Qual é o significado da terceira lei de Kepler?

Quanto tempo um planeta leva para girar em torno do Sol (seu período, P) está relacionado à distância média do planeta ao Sol (d). Ou seja, o quadrado do período, P * P, dividido pelo cubo da distância média, d * d * d, é igual a uma constante. Para cada planeta, não importa seu período ou distância, P * P / (d * d * d) é o mesmo número.

Por que a órbita de um planeta é mais lenta quanto mais longe do Sol?

Um planeta se move mais devagar quando está mais longe do Sol porque seu momento angular não muda. Para uma órbita circular, o momento angular é igual à massa do planeta (m) vezes a distância do planeta ao Sol (d) vezes a velocidade do planeta (v). Como m * v * d não muda, quando um planeta está perto do Sol, d se torna menor à medida que v se torna maior. Quando um planeta está longe do Sol, d se torna maior à medida que v se torna menor.

Onde está a Terra quando está viajando mais rápido?

Segue-se da segunda lei de Kepler que a Terra se move mais rápido quando está mais próxima do Sol. Isso acontece no início de janeiro, quando a Terra está a cerca de 147 milhões de km (91 milhões de milhas) do sol. Quando a Terra está mais próxima do Sol, ela está viajando a uma velocidade de 30,3 quilômetros (18,8 milhas) por segundo.


Nomenclatura

Demorou quase dois séculos para que a formulação atual da obra de Kepler assumisse sua forma estabelecida. Voltaire Eléments de la philosophie de Newton (Elementos da filosofia de Newton) de 1738 foi a primeira publicação a usar a terminologia de "leis". [1] [2] O Enciclopédia biográfica de astrônomos em seu artigo sobre o Kepler (p. 620) afirma que a terminologia das leis científicas para essas descobertas era corrente pelo menos desde a época de Joseph de Lalande. [3] Foi a exposição de Robert Small, em Um relato das descobertas astronômicas de Kepler (1814) que compôs o conjunto de três leis, ao acrescentar a terceira. [4] Small também afirmou, contra a história, que essas eram leis empíricas, baseadas em raciocínio indutivo. [2] [5]

Além disso, o uso atual da "Segunda Lei de Kepler" é um nome impróprio. O Kepler tinha duas versões, relacionadas no sentido qualitativo: a "lei da distância" e a "lei da área". A "lei de área" é o que se tornou a segunda lei no conjunto de três, mas o próprio Kepler não a privilegiou dessa forma. [6]


Leis do movimento planetário de Kepler: 1609-1666 *

Os historiadores da ciência do século XVII freqüentemente afirmam que as leis de Kepler do movimento planetário foram amplamente ignoradas entre a época de sua primeira publicação (1609, 1619) e a publicação dos Principia de Newton (1687). Na verdade, porém, eles eram mais amplamente conhecidos e aceitos do que geralmente se reconhece.

As idéias de Kepler foram, de fato, bastante lentas em se estabelecer, e até cerca de 1630 havia poucas referências a elas na literatura da época. Mas a partir de então, o interesse por eles aumentou rapidamente. Em particular, o princípio das órbitas elípticas foi aceito pela maioria dos principais astrônomos na França antes de 1645 e na Inglaterra por volta de 1655. Ele também recebeu um apoio bastante forte na Holanda.

A segunda lei teve uma história mais complicada. Foi enunciado em sua forma exata por alguns escritores e usado na prática por alguns outros sem ser formulado explicitamente, mas a maioria, especialmente depois de 1645, preferiu uma ou outra das várias formas variantes que eram mais fáceis de usar, mas apenas aproximadamente corretas. A terceira lei atraiu menos interesse do que as outras, principalmente talvez porque não tinha base teórica satisfatória, mas foi corretamente declarada por pelo menos seis escritores durante o período em análise.

Entre cerca de 1630 e 1650, Epitome Astronomiae Copernicanae de Kepler (em que todas as três leis foram claramente formuladas) foi provavelmente a obra mais lida sobre astronomia teórica no norte e oeste da Europa, enquanto suas tabelas Rudolphine, baseadas nas duas primeiras leis, foram considerada pela maioria dos astrônomos como as tabelas planetárias mais precisas disponíveis.

A obra de Kepler certamente não recebeu todo o reconhecimento que merecia, mas a extensão em que foi negligenciada foi muito exagerada.


Terceira Lei de Kepler

A terceira lei de Kepler diz que o quadrado do período orbital é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da elipse traçada pela órbita. A terceira lei pode ser provada usando a segunda lei. Suponha que o período orbital seja τ. Já que a área de uma elipse é πab, onde aeb são os comprimentos dos eixos semi-maior e semi-menor. A segunda lei de Kepler fornece:

A partir da equação para a excentricidade, os comprimentos de semieixo são relacionados por:

Faça o quadrado de ambos os lados da equação da segunda lei e, em seguida, conecte este resultado para b²:

Lembre-se de nossa equação para r (θ):

Abandonamos θ₀ e escolhemos um sistema de coordenadas em que θ = 0 coincide com a apoapsis. O comprimento da apoapsis é a (1-e) e igualando-o a r (0) obtemos:

Agora vamos completar a prova inserindo isso na equação para o período:


Compreensão de Kepler das leis

Kepler não entendeu por que suas leis estavam corretas, foi Isaac Newton quem descobriu a resposta para isso mais de cinquenta anos depois. Newton, entendendo que sua terceira lei do movimento estava relacionada à terceira lei do movimento planetário de Kepler, concebeu o seguinte:

  • P = período sideral do objeto
  • uma = semi-eixo maior do objeto
  • G = 6,67 & vezes 10 & menos11 N m 2 / kg 2 = a constante gravitacional
  • m1 = massa do objeto 1
  • m2 = massa do objeto 2
  • & pi = constante matemática pi

Astrônomos que fazem mecânica celeste costumam usar unidades de anos, UA, G = 1 e massas solares, e com m2 & lt & ltm1, isso se reduz à forma de Kepler. As unidades SI também podem ser usadas diretamente nesta fórmula.


Posição em função do tempo

Kepler usou suas duas primeiras leis para calcular a posição de um planeta em função do tempo. Seu método envolve a solução de uma equação transcendental chamada equação de Kepler.

O procedimento para calcular as coordenadas polares heliocêntricas (r,θ) de um planeta em função do tempo t desde o periélio, são as seguintes quatro etapas:

1. Calcule o significa anomalia M = nt Onde n é o movimento médio. radianos onde P é o período. 2. Calcule o anomalia excêntrica E resolvendo a equação de Kepler: 3. Calcule o verdadeira anomalia θ pela equação: 4. Calcule o distância heliocêntrica

O importante caso especial da órbita circular, ε& # 160 = & # 1600, dá θ = E = M. Porque o movimento circular uniforme foi considerado normal, um desvio desta moção foi considerado um anomalia.

A prova deste procedimento é mostrada abaixo.

Anomalia média, M

O problema Kepleriano assume uma órbita elíptica e os quatro pontos:

s o Sol (em um foco da elipse) z o periélio c o centro da elipse p o planeta

distância entre o centro e o periélio, o semi-eixo maior, a excentricidade, a eixo semiminor, a distância entre o Sol e o planeta. a direção para o planeta visto do Sol, o verdadeira anomalia.

O problema é calcular as coordenadas polares (r,θ) do planeta do tempo desde o periéliot.

Isso é resolvido em etapas. Kepler considerou o círculo com o eixo principal como um diâmetro, e

a projeção do planeta para o círculo auxiliar o ponto no círculo de forma que as áreas do setor |zcy| e |zsx| são iguais, a significa anomalia.

As áreas do setor são relacionadas por

A área do setor circular

A área varrida desde o periélio,

é, pela segunda lei de Kepler, proporcional ao tempo desde o periélio. Então, a anomalia média, M, é proporcional ao tempo desde o periélio, t.

Anomalia excêntrica, E

Quando a anomalia média M é calculado, o objetivo é calcular a verdadeira anomalia θ. A função θ = f(M) não é, no entanto, elementar. [19] A solução de Kepler é usar

, x visto do centro, o anomalia excêntrica

como uma variável intermediária, e primeiro calcule E como a função de M resolvendo a equação de Kepler abaixo e, em seguida, calcule a verdadeira anomalia θ da anomalia excêntrica E. Aqui estão os detalhes.

Divisão por uma 2/2 dá Equação de Kepler

Esta equação dá M como a função de E. determinando E para um dado M é o problema inverso. Algoritmos numéricos iterativos são comumente usados.

Tendo calculado a anomalia excêntrica E, a próxima etapa é calcular a verdadeira anomalia θ.

Verdadeira anomalia, θ

Observe na figura que

Dividindo por e inserindo da primeira lei de Kepler

O resultado é uma relação utilizável entre a anomalia excêntrica E e a verdadeira anomalia & # 160θ.

Uma forma computacionalmente mais conveniente segue, substituindo na identidade trigonométrica:

Multiplicando por 1 & # 160 + & # 160ε dá o resultado

Esta é a terceira etapa na conexão entre o tempo e a posição na órbita.

Distância, r

A quarta etapa é calcular a distância heliocêntrica r da verdadeira anomalia θ pela primeira lei de Kepler:

Usando a relação acima entre θ e E a equação final para a distância r é:


Conceitos relacionados às leis do movimento planetário de Kepler

Abundam os exemplos de órbitas. Centenas de satélites artificiais orbitam a Terra juntamente com milhares de fragmentos. A órbita da lua em torno da Terra intrigou os humanos desde tempos imemoriais. As órbitas de planetas, asteróides, meteoros e cometas ao redor do Sol não são menos interessantes. Se olharmos mais longe, vemos um número quase inimaginável de estrelas, galáxias e outros objetos celestes orbitando uns aos outros e interagindo por meio da gravidade.

Todos esses movimentos são governados pela força gravitacional. Os movimentos orbitais dos objetos em nosso sistema solar são simples o suficiente para serem descritos com algumas leis bastante simples. As órbitas de planetas e luas satisfazem as duas condições a seguir:

  • A massa do objeto orbital, m, é pequeno em comparação com a massa do objeto que orbita, M.
  • O sistema está isolado de outros objetos massivos.

Com base no movimento dos planetas em torno do Sol, Kepler concebeu um conjunto de três leis clássicas, chamadas leis de Kepler do movimento planetário, que descrevem as órbitas de todos os corpos que satisfazem estas duas condições:

  1. The orbit of each planet around the sun is an ellipse with the sun at one focus.
  2. Each planet moves so that an imaginary line drawn from the sun to the planet sweeps out equal areas in equal times.
  3. The ratio of the squares of the periods of any two planets about the sun is equal to the ratio of the cubes of their average distances from the sun.

These descriptive laws are named for the German astronomer Johannes Kepler (1571–1630). He devised them after careful study (over some 20 years) of a large amount of meticulously recorded observations of planetary motion done by Tycho Brahe (1546–1601). Such careful collection and detailed recording of methods and data are hallmarks of good science. Data constitute the evidence from which new interpretations and meanings can be constructed. Let’s look closer at each of these laws.

Kepler’s First Law

The orbit of each planet about the sun is an ellipse with the sun at one focus, as shown in Figure 7.2. The planet’s closest approach to the sun is called perihelion and its farthest distance from the sun is called aphelion.

If you know the aphelion (ruma) and perihelion (rp) distances, then you can calculate the semi-major axis (uma) and semi-minor axis (b).

Kepler’s Second Law

Each planet moves so that an imaginary line drawn from the sun to the planet sweeps out equal areas in equal times, as shown in Figure 7.4.

Tips For Success

Note that while, for historical reasons, Kepler’s laws are stated for planets orbiting the sun, they are actually valid for all bodies satisfying the two previously stated conditions.

Kepler’s Third Law

The ratio of the periods squared of any two planets around the sun is equal to the ratio of their average distances from the sun cubed. In equation form, this is

Onde T is the period (time for one orbit) and r is the average distance (also called orbital radius). This equation is valid only for comparing two small masses orbiting a single large mass. Most importantly, this is only a descriptive equation it gives no information about the cause of the equality.

Links To Physics

History: Ptolemy vs. Copernicus

Before the discoveries of Kepler, Copernicus, Galileo, Newton, and others, the solar system was thought to revolve around Earth as shown in Figure 7.5 (a). This is called the Ptolemaic model , named for the Greek philosopher Ptolemy who lived in the second century AD. The Ptolemaic model is characterized by a list of facts for the motions of planets, with no explanation of cause and effect. There tended to be a different rule for each heavenly body and a general lack of simplicity.

Figure 7.5 (b) represents the modern or Copernican model . In this model, a small set of rules and a single underlying force explain not only all planetary motion in the solar system, but also all other situations involving gravity. The breadth and simplicity of the laws of physics are compelling.

Nicolaus Copernicus (1473–1543) first had the idea that the planets circle the sun, in about 1514. It took him almost 20 years to work out the mathematical details for his model. He waited another 10 years or so to publish his work. It is thought he hesitated because he was afraid people would make fun of his theory. Actually, the reaction of many people was more one of fear and anger. Many people felt the Copernican model threatened their basic belief system. About 100 years later, the astronomer Galileo was put under house arrest for providing evidence that planets, including Earth, orbited the sun. In all, it took almost 300 years for everyone to admit that Copernicus had been right all along.

Explain why Earth does actually appear to be the center of the solar system.

  1. Earth appears to be the center of the solar system because Earth is at the center of the universe, and everything revolves around it in a circular orbit.
  2. Earth appears to be the center of the solar system because, in the reference frame of Earth, the sun, moon, and planets all appear to move across the sky as if they were circling Earth.
  3. Earth appears to be at the center of the solar system because Earth is at the center of the solar system and all the heavenly bodies revolve around it.
  4. Earth appears to be at the center of the solar system because Earth is located at one of the foci of the elliptical orbit of the sun, moon, and other planets.

Virtual Physics

Acceleration

This simulation allows you to create your own solar system so that you can see how changing distances and masses determines the orbits of planets. Click Help for instructions.


Practica Prophetica

F or eight years, Kepler sought unceasingly, with unremitting toil, to solve the law of planetary motion. During those years, he tried nineteen different hypotheses. One after another of these he was compelled to lay aside as not conforming to the motion of the planets. His courage and patience transfigured failure into success.

When, after days of study and nights of observation, the months showed a theory untenable, he turned from it without regret, knowing that there was one less theory to try. At last, he was compelled to give up every theory of the circle as the explanation of orbital motion. He then chose the next to the circle in simplicity, the ellipse. Here he found all the conditions met.

The problem at last was solved, and he cried,

“O almighty God, I am thinking Thy thoughts after Thee!”

When he had established his second and third laws, and written his exposition of them, he said:

“My book is written to be read either now or by posterity I care not which. It may well wait a century for a reader, since God has waited six thousand years for an observer.”

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